Comment Faire Le Produit Scalaire De Deux Vecteurs

five méthodes pour calculer un produit scalaire

Propriété

Il existe de nombreuses méthodes permettant de calculer united nations produit scalaire. C'est, en partie, ce qui fait la puissance de cet outil en mathématiques.

Nous allons voir, dans ce chapitre, five des principales méthodes utilisées en classe de Première cascade calculer united nations produit scalaire :

1. Utiliser une projection orthogonale,

2. Appliquer une formule utilisant le cosinus d'un angle,

3. Appliquer une formule utilisant les normes de 3 vecteurs,

4. Se placer dans un repère orthonormé,

5. Utiliser la relation de Chasles.

1. Utiliser une projection orthogonale

Pour calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ , on projette orthogonalement le bespeak $C$ sur la droite $(AB)$ .
Notons $H$ ce projeté orthogonal :

On employ alors le théorème suivant (voir cours) :

Théorème

Soient $A, B, C$ trois points du plan et si $H$ est la projection orthogonale de $C$ sur la droite $\left(AB\right).$

Alors :

• $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{Air conditioning}=AB\times AH$ si fifty'angle $\widehat{BAC}$ est aigu

• $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}= - AB\times AH$ si fifty'bending $\widehat{BAC}$ est obtus

Remarque

• Dire que 50'angle $\widehat{BAC}$ est aigu revient à dire que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AH}$ ont le même sens.

• Dire que l'angle $\widehat{BAC}$ est obtus revient à dire que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AH}$ ont des sens opposés.

Exemple

Sur la figure ci-dessous, $ABCD$ est united nations carré de côté 4 unités et $I$ et le milieu du segment $[AB]$ .
On cherche à calculer la valeur du produit scalaire $\overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{ID}$ .

La méthode utilisant la projection orthogonale est particulièrement bien adaptée ici puisque l'on connaît la project orthogonale $A$ du bespeak $D$ sur la droite $(IB).$

L'angle $\widehat{DIB}$ est ici un angle obtus.
Les segments $IB$ et $AI$ mesure chacun 2 unités.
On a donc :

$\overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{ID}= - IB \times IA$
$\overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{ID}= - ii \times 2= - 4$

2. Appliquer une formule utilisant le cosinus d'un angle

Si 50'on connaît l'angle $\widehat{BAC}$ , on peut calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ en utilisant les longueurs $AB$ et $AC$ ainsi que le cosinus de 50'bending $\widehat{BAC}$ (Voir Définition du produit scalaire.)

Définition

Le produit scalaire de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{Ac}$ est le nombre réel noté $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ défini par :

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =AB \times Air-conditioning \times \cos \left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC} \right)$

Remarque

Le sens de fifty'angle n'a pas d'importance dans cette formule puisque pour tout angle $\theta \ :$ $\cos \theta =\cos( - \theta ).$
On peut donc aussi bien utiliser des angles orientés ( comme $\left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{Air-conditioning} \right)$ ) que des angles géométriques ( comme $\widehat{BAC}$ ).

Exemple

Pour la figure ci-dessous, on souhaite déterminer une valeur approchée à $x{}^{ - two}$ près du produit scalaire $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{Ac}$ .

Bien sûr, on utilise la définition du produit scalaire à l'adjutant des angles puisqu'ici on connaît 50'angle $\widehat{BAC}$ .

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=AB \times Air conditioning \times \cos \widehat{BAC}$
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=12 \times 6 \times \cos(l \caste)$
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} \approx 12 \times 6 \times 0,643 \approx 46,28.$

iii. Appliquer une formule utilisant les normes de three vecteurs

Lorsque 50'on connaît trois distances, par exemple, les longueurs des trois côtés d'un triangle, On peut calculer un produit scalaire en utilisant l'une des égalités ci-dessous (Voir propriété) :

Théorème

Pour tous vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ :

$\vec{u} \cdot \vec{v}=\frac{one}{2} \left(||\vec{u}+\vec{v}||^{2} - ||\vec{u}||^{2} - ||\vec{v}||^{ii}\right)$

$\vec{u} \cdot \vec{v}=\frac{1}{2}\left(\left\Vert \vec{u}\right\Vert{}^two +\left\Vert \vec{v}\right\Vert{}^ii - \left\Vert \vec{u} - \vec{five}\right\Vert{}^two \right)$

Cette formule est particulièrement utile lorsque l'on connaît les trois côtés d'un triangle ou lorsque l'on connaît 2 côtés et la médiane issus du même point ; on utilise alors souvent une des relations ci-dessous :

• $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{Air conditioning}=\overrightarrow{Air-conditioning} - \overrightarrow{AB}$ (Relation de Chasles)
  

• Si $M$ et le milieu du segment $[BC]\ :$
  $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}$ (Propriété de la médiane)

Exemple

Cascade la figure ci-dessous, on cherche, là encore, à calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{Air-conditioning}$ .

Dans le triangle ci-dessus, d'après la relation de Chasles :

$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$

On en déduit, d'après la seconde égalité du théorème précédent :

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\frac{1}{2} \left( ||\overrightarrow{AB}||{}^2 +||\overrightarrow{Air-conditioning}||{}^2 - ||\overrightarrow{BC}{}||^2 \right)$
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\frac{ane}{two} \left( 9{}^2 +half-dozen{}^2 - 8{}^2 \right)$
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\frac{1}{2} \times 53=26,5$

4. Se placer dans un repère orthonormé

Dans un repère orthonormé, il est facile de calculer le produit scalaire des vecteurs $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 10 \\ y \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 10^{\prime} \\ y^{\prime number} \finish{pmatrix}$ grâce à la formule suivante :

Théorème

Le programme étant rapporté à united nations repère orthonormé $\left(O; \vec{i}, \vec{j}\correct)$ , soient $\overrightarrow{u}\brainstorm{pmatrix} 10 \\ y \terminate{pmatrix}$ et $\overrightarrow{5}\begin{pmatrix} 10^{\prime} \\ y^{\prime} \end{pmatrix}$ deux vecteurs du programme; alors :

$\vec{u} \cdot \vec{v}=twenty^{\prime}+yy^{\prime}$

Remarque

Lorsque la figure ne comporte pas de repère orthonormé, il est toujours possible d'en choisir un soi-même. Attention toutefois, pour que la formule précédente soit valable, il est of import que le repère soit orthonormé.

Exemple

Reprenons l'exemple étudié lors de la première méthode en nous plaçant, cette fois, dans le repère $(A~;~\vec{i},~\vec{j})$ représenté ci-dessous :

Les coordonnées des points $A, B, C, D, I$ dans le repère orthonormé $(A~;~\vec{i},~\vec{j})$ sont :
$A(0~;~0)~; B(4~;~0)~;~C(four~;~4)~; D(0~;~4)~;~I(2~;~0)$

On on déduit les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{IB}$ et $\overrightarrow{ID}~:$
$\overrightarrow{IB}\begin{pmatrix} x_{B} - x_{I} \\ y_{B} - y_{I} \end{pmatrix}$ donc $\overrightarrow{IB}\brainstorm{pmatrix} 2 \\ 0 \stop{pmatrix}$

$\overrightarrow{ID}\begin{pmatrix} x_{D} - x_{I} \\ y_{D} - y_{I} \end{pmatrix}$ donc $\overrightarrow{ID}\begin{pmatrix} - ii \\ 4 \cease{pmatrix}$

Par conséquent :

$\overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{ID}=ii \times ( - 2) +4 \times 0= - iv$

five. Utiliser la relation de Chasles

Une autre façon de calculer le produit scalaire de 2 vecteurs consiste à décomposer ces vecteurs en utilisant la relation de Chasles puis à utiliser la distributivité du produit scalaire par rapport à 50'addition ou à la soustraction de vecteurs.

Propriété

Pour tous vecteurs $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}~:$

$\vec{u} \cdot \left(\vec{v}+\vec{w}\correct)=\vec{u} \cdot \vec{v}+\vec{u} \cdot \vec{w}$

Remarque

Cette méthode est très générale et elle peut souvent remplacer les méthodes 1 ou 4 ; cependant, elle peut être parfois plus difficile à manier.

Sur la figure ci-dessous, $ABCD$ est un losange dont les diagonales mesurent : $Air-conditioning=12$ et $BD=half-dozen.$
On souhaite calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}.$

Exemple

Pour trouver le résultat demandé, on peut se placer dans united nations repère de centre $I$ et employer la méthode précédente. Toutefois, Il est également possible ici de décomposer les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BC}$ en utilisant la relation de Chasles et en faisant intervenir le indicate $I$  : $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB}$
$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BI}+\overrightarrow{IC}$

On peut alors calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}$ de la façon suivante :

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}=\left( \overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB} \right) \cdot \left( \overrightarrow{BI}+\overrightarrow{IC} \right)$
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{BI}+\overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{IC}+\overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{BI}+\overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{IC}$

Comme les vecteurs $\overrightarrow{AI}$ et $\overrightarrow{BI}$ sont orthogonaux le produit scalaire $\overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{BI}$ est nul ; cascade la même raison le produit scalaire $\overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{IC}$ est lui aussi nul.
De plus, $\overrightarrow{IC}= \overrightarrow{AI}$ , $IB=\frac{one}{2} DB=3$ et $IC=AI=\frac{1}{2} Ac=6.$

Par conséquent :
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AI}{}^ii - \overrightarrow{IB}{}^two =AI{}^2 - IB{}^2$
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}=half dozen{}^2 - 3{}^2 =36 - 9=27.$

Remarque : On peut montrer que ce résultat est encore right si $ABCD$ est un parallélogramme quelconque et non nécessairement un losange;

Dans ce chapitre :

Comment Faire Le Produit Scalaire De Deux Vecteurs,

Source: https://www.maths-cours.fr/methode/5-methodes-pour-calculer-un-produit-scalaire

Posted by: flanaganpostrod.blogspot.com

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